拓?fù)鋬?yōu)化中采用增材制造填充構(gòu)件的結(jié)構(gòu)屈曲荷載提升設(shè)計(jì)

來(lái)源：Engineering

增材制造技術(shù)(3D打印)可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的制備,，填補(bǔ)了傳統(tǒng)工藝的制備盲區(qū),。拓?fù)鋬?yōu)化方法,，眾所周知已成功用于航空航天和汽車(chē)行業(yè)的輕量化構(gòu)件的創(chuàng)新設(shè)計(jì),，提供了一個(gè)可充分利用增材制造帶來(lái)的設(shè)計(jì)自由度進(jìn)行靈巧設(shè)計(jì)的平臺(tái),，實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)與制造兩項(xiàng)技術(shù)的完美契合,。然而,，迄今為止,，拓?fù)鋬?yōu)化方法在適應(yīng)增材制造技術(shù)的約束和帶來(lái)機(jī)遇方面的進(jìn)展非常有限。擠壓式增材制造技術(shù),，可制備不同于傳統(tǒng)實(shí)體結(jié)構(gòu)的內(nèi)含多孔結(jié)構(gòu)的固體殼結(jié)構(gòu)(圖1),，這也是其獨(dú)特的制備特點(diǎn)之一。

近期,，本文作者提出了一種名為涂層方法的拓?fù)鋬?yōu)化方法,。相比于僅可設(shè)計(jì)實(shí)心固體結(jié)構(gòu)  [圖1(a)]的傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法，該方法可設(shè)計(jì)內(nèi)部填充多孔結(jié)構(gòu)固體殼結(jié)構(gòu)[圖1(b)],。研究表明,，涂層方法雖無(wú)法提高結(jié)構(gòu)剛度，但可顯著改善屈曲載荷,，提高結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性,。此外，該研究也表明拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)與增材制造工藝相結(jié)合具有巨大潛力,。 利用傳統(tǒng)最小柔順性方法對(duì)部件進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化時(shí),，一般不考慮屈曲約束。因此,，拓?fù)鋬?yōu)化所獲得的最優(yōu)設(shè)計(jì)往往是拉壓構(gòu)件配置結(jié)構(gòu),，回避抗彎構(gòu)件。

然而,，構(gòu)件的屈曲載荷與其彎曲剛度密切相關(guān)(如桿的歐拉屈曲與其彎曲剛度成正比),，這些結(jié)構(gòu)最終破壞很可能是由于屈曲載荷，而不是材料的斷裂強(qiáng)度,。當(dāng)結(jié)構(gòu)體分比較少時(shí),，該問(wèn)題尤為顯著。 目前,，一些工作試圖在最小柔順性拓?fù)鋬?yōu)化中考慮屈曲約束,。所建議的方法要么未能獲得可信的設(shè)計(jì)結(jié)果，要么陷入最小特征值(屈曲荷載)附近大量模態(tài)聚集的困擾 ,。模態(tài)聚集意味著需要計(jì)算大量的特征值,，導(dǎo)致不可承受的計(jì)算負(fù)擔(dān)。強(qiáng)制性的屈曲分析是作為優(yōu)化后的后續(xù)過(guò)程,，而不是集成在優(yōu)化過(guò)程中的約束,。如果發(fā)現(xiàn)構(gòu)件的穩(wěn)定性不足，則執(zhí)行后處理過(guò)程進(jìn)一步設(shè)計(jì)以提升臨界屈曲載荷,。在這個(gè)過(guò)程導(dǎo)致設(shè)計(jì)為較優(yōu)結(jié)構(gòu)而非最優(yōu)結(jié)構(gòu)。 自然界中存在著大量具有較高屈曲荷載與重量比的結(jié)構(gòu)構(gòu)型,。最典型的例子是動(dòng)物骨骼和植物的莖,，它們是由柔軟多孔的內(nèi)部和堅(jiān)固的外殼組成,。夾層結(jié)構(gòu)也應(yīng)用了相同的概念，其共同特征在于具有相對(duì)于質(zhì)量的較高的彎曲比剛度,，因此具有較高的屈曲荷載,。涂層方法利用相同的機(jī)理設(shè)計(jì)較高屈曲載荷的結(jié)構(gòu)構(gòu)型。正如本文所證實(shí)的,，涂層方法提供了一種充分利用增材制造填充結(jié)構(gòu),，以提高結(jié)構(gòu)屈曲載荷的實(shí)現(xiàn)方式。本項(xiàng)研究包括數(shù)值和實(shí)驗(yàn)兩部分,。

2. 方法
為證明填充結(jié)構(gòu)相對(duì)于相同質(zhì)量的實(shí)體結(jié)構(gòu)具有更好的屈曲性能,，本文比較了以下兩種基于密度的拓?fù)鋬?yōu)化方法：
①基于投影的傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法，其將產(chǎn)生一個(gè)幾乎完全黑白的結(jié)構(gòu),；
②涂層方法,，其將產(chǎn)生內(nèi)含多孔填充結(jié)構(gòu)的固體殼結(jié)構(gòu)。采用拓?fù)鋬?yōu)化中的標(biāo)準(zhǔn)案例MBB梁(等厚簡(jiǎn)支梁上端中部受集中載荷作用,，詳細(xì)參考2.3節(jié))作為研究對(duì)象,，比較了兩種拓?fù)鋬?yōu)化方法所得結(jié)構(gòu)的柔順性和屈曲荷載，并將屈曲分析的數(shù)值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,。為方便闡述,，本文針對(duì)二維結(jié)構(gòu)開(kāi)展研究，但在實(shí)驗(yàn)研究中考慮了三維效應(yīng),，因而該研究可有效地?cái)U(kuò)展到三維結(jié)構(gòu),。
2.1.優(yōu)化問(wèn)題
本文優(yōu)化問(wèn)題為標(biāo)準(zhǔn)的一定體積約束下的最小柔順性問(wèn)題，其有限元列式為

                 

(1) 其中,，μ是設(shè)計(jì)變量向量,；c是柔順度；K是整體剛度陣 (采用傳統(tǒng)基于密度法拓?fù)鋬?yōu)化中的定義方法：疊加插值后的單元?jiǎng)偠染仃嚨睦奂?,；U和F分別是整體位移向量和載荷向量,；g是體積約束；V(μ)是材料體積,；V*是允許使用的最大材料體積,。本文基于解析的敏度和移動(dòng)漸近線(xiàn)法(MMA)[8]更新設(shè)計(jì)變量。敏度的具體表達(dá)式在此不在贅述,，詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻(xiàn),。

2.2. 涂層設(shè)計(jì)方法
傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法和涂層方法均可采用過(guò)濾方法實(shí)現(xiàn)宏觀結(jié)構(gòu)特征尺寸的控制。該過(guò)程包括基于偏微分方程(PDF)的密度過(guò)濾實(shí)現(xiàn)光滑化,，以及基于中間密度場(chǎng)映射[10–12]方法實(shí)現(xiàn)光滑問(wèn)題離散化,。其中，光滑的程度取決于過(guò)濾半徑R(定義見(jiàn)參考文獻(xiàn)[11]),，而映射過(guò)程由閾值η和陡峭度β決定,。 除了控制宏觀特征尺寸,，涂層方法可設(shè)計(jì)內(nèi)含多孔填充物的固體外殼結(jié)構(gòu)，表面厚度tref決定了結(jié)構(gòu)的固體外殼表面,。本文將填充結(jié)構(gòu)等效為均質(zhì)結(jié)構(gòu),，其材料屬性為周期性填充結(jié)構(gòu)的等效宏觀屬性，為數(shù)值模型中計(jì)算精細(xì)的微觀結(jié)構(gòu)提供基礎(chǔ),。均質(zhì)化后的填充結(jié)構(gòu)屬性可通過(guò)密度和剛度兩個(gè)均勻化參數(shù)來(lái)描述,，這兩個(gè)參數(shù)可通過(guò)固體材料性質(zhì)λm和λE的比值表示。為滿(mǎn)足材料的物理意義,，兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系必須滿(mǎn)足Hashin-Shtrikman (HS)邊界,。本文選取三角形填充結(jié)構(gòu)，并假定其性能滿(mǎn)足HS上界[14],。對(duì)于二維問(wèn)題,，填充結(jié)構(gòu)的密度和剛度的關(guān)系已在文獻(xiàn)[15]中給出，如圖1(c)所示：

(2) 需要注意的是,，該關(guān)系基于固體材料的泊松比為1/3的假設(shè),。然而，對(duì)于體積分?jǐn)?shù)較低,，以拉壓性能為主導(dǎo)的三角形蜂窩填充結(jié)構(gòu),，材料的泊松比的影響可忽略不計(jì)。

２．３． 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)
實(shí)驗(yàn)選擇標(biāo)準(zhǔn)案例MBB梁：一個(gè)長(zhǎng)寬比為6:1的等厚簡(jiǎn)支梁,，上端中間受集中荷載作用,。其數(shù)值優(yōu)化結(jié)構(gòu)如圖2(a)和2(b)所示。設(shè)計(jì)域尺寸為300 mm×50 mm,，厚度為15 mm,，體分比為25 %，采用大小為0.5 mm的雙線(xiàn)性四邊形單元離散,。表面厚度tref取1 mm,，光滑設(shè)計(jì)域時(shí)過(guò)濾半徑R=10 mm。優(yōu)化過(guò)程中利用結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性選用模型的一半,，但是對(duì)于屈曲分析,，為了找到非對(duì)稱(chēng)模式，需要使用完整模型,。本文選取相對(duì)剛度為20%的多孔材料即λE = 0.2,，可根據(jù)公式(2)求解得到λm = 0.43，過(guò)濾和懲罰參數(shù)的取值參考文獻(xiàn)[16],。

2.4.部件制造
實(shí)驗(yàn)試件[如圖2(c)和(d)所示]采取美國(guó)Maskers Tool Works公司的Mendel Max2打印機(jī)制備,，該打印機(jī)配有E3D v6的擠出熱噴頭，采用熔絲制造(FFF)技術(shù),。打印材料為丁苯乙烯丁烯橡膠(SEBS)†,。該材料是一種具有500%的斷裂伸長(zhǎng)率的熱塑性彈性體(IPE)材料,，可提供充足的延展性以便在試件不斷裂的情況下觀察屈曲模態(tài)。由于SEBS是黏彈性材料,，供應(yīng)商未提供其楊氏模量，其邵氏硬度A和邵氏硬度D的值分別表示為92和40,。熔絲擠出層高為0.2 mm,，寬度大約為0.5 mm。填充結(jié)構(gòu)的單胞尺寸是由擠出寬度(等于胞壁厚度)和宏觀密度 λm(見(jiàn)2.7節(jié))決定,。作為一種熔絲技術(shù),，F(xiàn)FF工藝會(huì)產(chǎn)生具有一定各向異性的結(jié)構(gòu)部件，在熔融沉積成型(FDM)過(guò)程中可觀察到相同的現(xiàn)象,。然而,，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定材料是各向同性線(xiàn)彈性材料,，該假設(shè)合理性將在第4節(jié)中討論,。材料的有效參數(shù)通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定。 由于實(shí)際打印過(guò)程中填充結(jié)構(gòu)的密度比預(yù)設(shè)值43%高,，制造出的多孔試件比預(yù)先設(shè)置的體積稍重一點(diǎn),。試件的蒙皮厚度可用數(shù)字測(cè)徑器測(cè)量，附加體積主要由于切片軟件設(shè)置與擠出熔絲寬度之間的非完美匹配引起的,。因而,，在數(shù)值模型計(jì)算中，通過(guò)給填充結(jié)構(gòu)分配額外的重量考慮其體積誤差,。優(yōu)化過(guò)程中,，選用20 %的填充結(jié)構(gòu)剛度，實(shí)際制備的填充結(jié)構(gòu)密度是固體的52 %,，即填充結(jié)構(gòu)剛度為27 %,。在有限元模型中，采用27 %的剛度值,，并且與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了比較,，發(fā)現(xiàn)該有限的剛度增加對(duì)性能比較影響較小。

2.5.實(shí)驗(yàn)設(shè)置
實(shí)驗(yàn)測(cè)試由兩部分組成：
①確定有效的材料參數(shù),；
②確定屈曲荷載,。該兩部分實(shí)驗(yàn)時(shí)選用不同的三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝置，如圖3(a)和(c)
所示,。為了確定材料參數(shù),，在梁的荷載處放置鋼支架，如圖3(a) 所示,。荷載的增加通過(guò)在用繩子與鋼支架相連的籃子中增加100 g重量來(lái)實(shí)現(xiàn)(其中籃子在圖中不可見(jiàn)),，載荷位移可直接利用運(yùn)托架上精度為0.01 mm的千分表測(cè)量,。由于在該試驗(yàn)中，梁的荷載始終處于線(xiàn)性范圍以?xún)?nèi),，因此零點(diǎn)可任意設(shè)置,。 實(shí)驗(yàn)件的屈曲荷載通過(guò)具有10 kN負(fù)荷傳感器的機(jī)電試驗(yàn)機(jī)(Instron 6022，改造于5500R)確定,，如圖3(c)所示,。屈曲分析中，控制位移加載速度為1.5 mm·min–1,，并采用其他速度用于驗(yàn)證(見(jiàn)章節(jié)4),。數(shù)據(jù)采樣的速度為每秒20次。 之所以?xún)蓚�(gè)實(shí)驗(yàn)采用不同的裝置,，是因?yàn)橹挥挟?dāng)力高于20 N(誤差低于2 %)時(shí),，10 kN負(fù)荷傳感器是精確的。但是確定材料常數(shù)的力僅僅需要5 N,。

2.6.屈曲數(shù)值分析

結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲時(shí)的荷載稱(chēng)為臨界載荷,，用Pc表示。線(xiàn)性屈曲問(wèn)題可轉(zhuǎn)換為特征值問(wèn)題求解,，其有限元分析(FEA)列式為：

幾何剛度矩陣Kσ(uref)與參考載荷作用下的線(xiàn)性靜力位移(應(yīng)力)相關(guān),，可通過(guò)求解Kuref = Fref獲得。臨界載荷Pc等于參考荷載與最小特征值λc的乘積,。相關(guān)屈曲模態(tài)通過(guò)Φ獲得,。需要注意的是對(duì)于線(xiàn)性屈曲問(wèn)題，只能獲得相關(guān)模態(tài),，無(wú)法得到實(shí)際振幅(和實(shí)際位移),。 初步試驗(yàn)表明，多孔結(jié)構(gòu)將會(huì)產(chǎn)生面外屈曲模態(tài),。為與實(shí)際模型進(jìn)行比較,，在Abaqus中建立三維模型替代優(yōu)化中使用的二維數(shù)值模型，并采用八節(jié)點(diǎn)六面體單元(Abaqus C3D8單元)離散,。二維模型離散所使用的方形單元在三維模型(x和y方向)中繼續(xù)使用,。樣本沿z方向拉伸15 mm形成三維模型，為了減少自由度數(shù)目,，模型在z方向上單元長(zhǎng)度是平面單元長(zhǎng)度的2倍,。

最后離散結(jié)構(gòu)的單元尺寸為0.5 mm×0.5 mm×1.0 mm。數(shù)值模型使用具有均質(zhì)填充性質(zhì)的固體材料模擬填充結(jié)構(gòu),，而不是實(shí)際打印出的三角形結(jié)構(gòu),。這部分假設(shè)將在第4節(jié)討論。 載荷均布加載在一個(gè)小面域內(nèi)，其內(nèi)部含有80個(gè)節(jié)點(diǎn),。除了二維問(wèn)題中定義的邊界條件,，約束中心載荷節(jié)點(diǎn)面外運(yùn)動(dòng)(u3 = 0)。該邊界條件還對(duì)應(yīng)于力傳動(dòng)裝置與試驗(yàn)試件之間的摩擦作用,，可防止面外屈曲模態(tài),。 首先，求解方程(3)定義的特征值問(wèn)題(Abaqus：“線(xiàn)性擾動(dòng),，屈曲”),。使用弧長(zhǎng)法追蹤結(jié)構(gòu)的幾何非線(xiàn)性響 應(yīng)，對(duì)特征值分析細(xì)化(Abaqus：“靜態(tài),，弧長(zhǎng)”)。對(duì)于每個(gè)工況,，引進(jìn)非對(duì)稱(chēng)載荷擾動(dòng)模擬缺陷,，其大小是特征值分析中預(yù)測(cè)得到的屈曲荷載的1%。在這里提到屈曲載荷值都是非線(xiàn)性分析的結(jié)果,，所有工況非線(xiàn)性分析都比線(xiàn)性分析低2%以下,。


2.7.填充結(jié)構(gòu)的屈曲性質(zhì)
盡管我們的假設(shè)是當(dāng)填充結(jié)構(gòu)的百分比減少時(shí)，宏觀的屈曲載荷將顯著提升,，但是其結(jié)構(gòu)將易發(fā)生局部屈曲,。三角形填充結(jié)構(gòu)的“屈曲強(qiáng)度”可由一般宏觀面內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)預(yù)測(cè)。 圖4(a)為三角形填充結(jié)構(gòu),，圖4(b)為單胞放大圖,，其中三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，單胞壁厚為t,，并且三角形的方向與所使用的物理模型一致,。三角形填充結(jié)構(gòu)的屈曲強(qiáng)度取決于比值(t/L)3[19]。當(dāng)已知正三角形的形狀和常數(shù)參數(shù)時(shí),，L,、t和λm中只有兩個(gè)參數(shù)是獨(dú)立的。忽視三角形在交界處的結(jié)構(gòu)重疊效應(yīng),，第三個(gè)參數(shù)與另外兩個(gè)參數(shù) 線(xiàn)性相關(guān),。因此，填充結(jié)構(gòu)的屈曲強(qiáng)度取決于λ3m,。 盡管假設(shè)填充結(jié)構(gòu)的彈性性質(zhì)為線(xiàn)性各向同性,，然而屈曲強(qiáng)度與主應(yīng)力方向相關(guān)。對(duì)于沿著三角形蜂窩墻壁方向的單軸載荷,，屈曲強(qiáng)度可通過(guò)簡(jiǎn)化的表達(dá)式計(jì)算,。

假設(shè)荷載與x軸平行，則屈曲強(qiáng)度為

下面將討論如何建立本文設(shè)計(jì)所需要的填充結(jié)構(gòu)的屈曲強(qiáng)度，其中填充密度范圍為
λm  (0,1],。需要注意的是,，一些假設(shè)被引入本文所研究的設(shè)計(jì)問(wèn)題中。 完全實(shí)體結(jié)構(gòu)可近似為一個(gè)三角形布局的框架模型,，甚至是桁架模型,，這是由于拓?fù)鋬?yōu)化方法的本質(zhì)造成的，此時(shí)材料分布使任意內(nèi)部結(jié)構(gòu)的彎曲最小,。

主應(yīng)力(絕對(duì))值分布[如圖4(b)所示]也證明了這一結(jié)論,，除了個(gè)別梁的橫截面由于離散產(chǎn)生少許不規(guī)則現(xiàn)象，其他大多數(shù)梁都是滿(mǎn)足的,。  假定填充密度對(duì)于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)沒(méi)有影響,，與完全實(shí)體模型獲得的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)相同；假設(shè)任意填充密度的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)可采用完全相同的線(xiàn)性桁架結(jié)構(gòu)建模,，并且桁架的正應(yīng)力在給定的外載荷下不發(fā)生變化,。但是，從完全實(shí)體結(jié)構(gòu)到具有較小均質(zhì)剛度的內(nèi)部多孔結(jié)構(gòu),，桁架的截面積發(fā)生變化,。這意味著對(duì)于任意一個(gè)桿件，填充結(jié)構(gòu)的宏觀軸向應(yīng)力會(huì)比完全實(shí)體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力低,，可通過(guò)一個(gè)與表面厚度和填充結(jié)構(gòu)密度有關(guān)的因子表示,，盡管實(shí)體殼中的應(yīng)力會(huì)高一些。通過(guò)對(duì)完全固體結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的桁架模型面內(nèi)應(yīng)力乘以“填充應(yīng)力參數(shù)” [參見(jiàn)圖4(c)],，可獲得任意填充密度的多孔結(jié)構(gòu)桿對(duì)應(yīng)的面內(nèi)應(yīng)力狀態(tài),。

圖4(d)中箭頭指向的桿(或者鏡像于垂直對(duì)稱(chēng)線(xiàn)的桿)在所有壓縮桿件中主應(yīng)力絕對(duì)值最大。這個(gè)桿近似滿(mǎn)足x軸方向單軸壓縮,，因此,，其屈曲強(qiáng)度可采用表達(dá)式(4)表示。這個(gè)表達(dá)式與桿的正壓力之間的比值,，對(duì)應(yīng)于一個(gè)單位荷載來(lái)提供任何填充結(jié)構(gòu)密度的臨界載荷,。 此外，固體殼也可能在宏觀失穩(wěn)之前發(fā)生局部屈曲,，但是,，本次實(shí)驗(yàn)中并沒(méi)有建模研究殼的屈曲強(qiáng)度。 3.結(jié)果 本節(jié)主要介紹數(shù)值分析結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,，結(jié)果誤差的分析將在第4節(jié)中討論,。根據(jù)本文優(yōu)化問(wèn)題的定義，所有的力和位移值都只考慮中心加載點(diǎn)(頂部中心節(jié)點(diǎn))的垂直分量,。

3.1.等效材料參數(shù)
本文通過(guò)實(shí)體模型確定等效的泊松比ν0和楊氏模量E0值,，來(lái)校核數(shù)值模型的準(zhǔn)確性,。假設(shè)材料為線(xiàn)彈性，那么泊松比和楊氏模量均為常數(shù),。根據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論,，多孔材料的等效剛度遵循HS上邊界[方程(2)]。 已知SEBS的泊松比接近0.5,，與橡膠類(lèi)似,。為了評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)泊松比的敏感程度，將只改變泊松比的兩個(gè)相同Abaqus模型運(yùn)行兩次,，其中泊松比分別為ν0= 0.45和 ν0 = 0.49,。數(shù)值結(jié)果表明，單位荷載可導(dǎo)致0.1%的位移偏差,，該值可表征材料模量E0的不確定程度,；第一階臨界荷載相差1%。這些不確定性相比與其他誤差來(lái)源來(lái)說(shuō)很小,。這一結(jié)果證實(shí)了本文前面的假設(shè),，拓?fù)?優(yōu)化結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件主要處于純拉伸或純壓縮狀態(tài)，泊松比的影響較小,。因此，可以簡(jiǎn)單地認(rèn)為泊松比ν0 = 0.49,。 通過(guò)擬合數(shù)值模型的響應(yīng)和實(shí)驗(yàn)觀察到的響應(yīng)可確定等效的楊氏模量E0,。

圖3(b)所示為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的力–位移曲線(xiàn)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)力加載至5.3 N時(shí),，它是完全線(xiàn)性的,。測(cè)得六個(gè)測(cè)量點(diǎn)的一系列值，用它們的平均值擬合曲線(xiàn),，誤差線(xiàn)表征了測(cè)得的最小值和最大值,。曲線(xiàn)斜率為aexp = 5.92 N·mm–1 ，相關(guān)系數(shù)的平方值為R2 = 0.9999,。雖然采用了幾何非線(xiàn)性梁模型進(jìn)行數(shù)值模擬,，但在數(shù)值模型中也發(fā)現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的線(xiàn)性關(guān)系。因此,，楊氏模量可以用單個(gè)力–位移關(guān)系來(lái)獲得,，如采用單位載荷(1 N)，通過(guò)關(guān)系 (1 N)/uout = aexp 就可以得到,，其中,，uout是輸出位移。擬合得到彈性模量為E0 = 65.7 MPa,，考慮到材料的黏彈性性質(zhì),，這個(gè)數(shù)字在制造商提供的邵氏硬度值的預(yù)期范圍內(nèi)。  圖3(b)中的力–位移圖還包含了多孔結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)。與上述實(shí)驗(yàn)一致,，可再次測(cè)得到一個(gè)近乎完美的線(xiàn)性關(guān)系(R2 = 0.9994),。多孔結(jié)構(gòu)的測(cè)量剛度比實(shí)體結(jié)構(gòu)的小10 %，多孔結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析預(yù)測(cè)剛度比測(cè)量值小6 %,，將在第4節(jié)中將具體討論這種微小偏差的原因,。需要注意的是，以上模型的數(shù)據(jù)參考實(shí)際打印結(jié)構(gòu),，即選取27%固體填充剛度,，而不是固體結(jié)構(gòu)20%的剛度。使用20 %剛度的數(shù)值分析表明,，填充結(jié)構(gòu)剛度比實(shí)體結(jié)構(gòu)小23 %,。

3.2.屈曲性能
對(duì)于屈曲分析，需要注意本文是采用二維模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),，因而主要研究其面內(nèi)性能,。在第4節(jié)中將討論數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的偏差。 屈曲分析的結(jié)果匯總在圖5中,。在圖5(a)中給出了數(shù)值計(jì)算的實(shí)心結(jié)構(gòu)與多孔結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性響應(yīng),，并與實(shí)驗(yàn)得到的屈曲荷載進(jìn)行比較。 對(duì)于實(shí)心結(jié)構(gòu),，數(shù)值屈曲載荷為23.2 N,，實(shí)驗(yàn)的屈曲載荷為29.8 N，其對(duì)應(yīng)的模態(tài)形狀是非常相似的,，如圖5(d)和(g)所示,。跟預(yù)想的一樣，初始屈曲最早出現(xiàn)在具有最高正應(yīng)力的桿件處,，即圖4(d)中的箭頭所指桿,。 對(duì)于多孔結(jié)構(gòu)，平面外扭曲模態(tài)出現(xiàn)在一階面內(nèi)屈曲模態(tài)之前,，屈曲載荷為64.3 N,，如圖5(f)所示。在三維數(shù)值模型中,，面外的平移運(yùn)動(dòng)僅在單一荷載節(jié)點(diǎn)處受到約束,，因而扭曲模態(tài)也能出現(xiàn)。該模型在施加荷載為65.1 N時(shí),，平面外模態(tài)與實(shí)測(cè)結(jié)果幾乎相同,，如圖5(a)和(c)所示。本文中只考慮多孔結(jié)構(gòu)的一階面內(nèi)屈曲模態(tài),。為了防止扭轉(zhuǎn)模態(tài)出現(xiàn),，兩個(gè)U形鋼支架安裝在多孔試樣周?chē)�,，U形鋼架間距15.2 mm，如圖5(e)所示,。支架腿寬19 mm,，對(duì)稱(chēng)地放置在距離組件65 mm遠(yuǎn)的中心平面處。一個(gè)10 kg的總重量(對(duì)應(yīng)100 N)被附在傳遞荷載的鋼支架處,，支架與試樣之間的摩擦并未明顯約束試樣的位移形變,。如圖5中所示，多孔結(jié)構(gòu)在這個(gè)荷載下仍然沒(méi)有屈服,，但是開(kāi)始發(fā)生局部失穩(wěn),。因此，我們無(wú)法從實(shí)驗(yàn)獲得面內(nèi)失穩(wěn)模態(tài),，利用數(shù)值模型可以確定面內(nèi)屈曲載荷為126 N,。盡管多孔結(jié)構(gòu)和實(shí)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)洳煌�，但是多孔結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)模態(tài)應(yīng)與實(shí)心結(jié)構(gòu)類(lèi)似,，如圖5(b)所示,。面外扭曲模態(tài)的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值結(jié)果的高度一致，也進(jìn)一步支持了數(shù)值模型給出的面內(nèi)屈曲荷載的正確性,。 由于面外屈曲模態(tài)并未做任何改變只是簡(jiǎn)單地由人為從二維模型拉伸為三維模型,，需要比較面內(nèi)屈曲模態(tài)所對(duì)應(yīng)的臨界荷載值來(lái)衡量結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。數(shù)值計(jì)算表明,，多孔結(jié)構(gòu)的屈曲載荷比實(shí)心模型高5.4倍,。圖中也給出了面外扭曲模態(tài)的臨界荷載值，進(jìn)一步表明數(shù)值方法確定面內(nèi)屈曲臨界荷載的正確性,。

3.3.填充密度的影響
圖6比較了之前提出的兩種結(jié)構(gòu)和另外三種結(jié)構(gòu)的數(shù)值性能,，這三種結(jié)構(gòu)使用相同的參數(shù)和體積約束優(yōu)化獲得,，但是填充結(jié)構(gòu)的剛度分別為40%,、60%和80%，這些剛度值對(duì)應(yīng)的體積密度分別為67%,、82%和92%,，如圖6(a)。圖6(b)中屈曲荷載值采用二維線(xiàn)性屈曲分析確定,，具體見(jiàn)第2.6節(jié)中所述,。二維模型給出的屈曲荷載值略低；但是,，由固體結(jié)構(gòu)和多孔結(jié)構(gòu)三維模型所得的面內(nèi)屈曲荷載的比值非常接近(5.3而不是5.4的比例),。 顯然，當(dāng)使用較低的填充率時(shí),，結(jié)構(gòu)剛度降低接近線(xiàn)性(即柔度增加),，屈曲荷載顯著提高,。上述結(jié)果的原因在于填充率較低的結(jié)構(gòu)組件寬度較大，彎曲剛度按照組件中心軸垂直距離的三次方增加,；而填充比例較高時(shí),，對(duì)改進(jìn)屈曲荷載影響很小，其原因是HS邊界曲線(xiàn)有一個(gè)陡峭的斜坡,，接近ρ= 1,，這意味著犧牲剛度只能收益一點(diǎn)點(diǎn)梁的寬度。值的注意得是,，與其他四種結(jié)構(gòu)相比,，λE = 0.2的結(jié)構(gòu)拓?fù)洳煌�不是高屈曲載荷的唯一原因：采用不同的初始猜測(cè)會(huì)導(dǎo)致與實(shí)體結(jié)構(gòu)相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。結(jié)果表明這種結(jié)構(gòu)的臨界荷載比實(shí)心結(jié)構(gòu)高4.5倍,，而不是5.3倍,。 圖6(b)給出了填充結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性極限的估計(jì)曲線(xiàn)，它是填充密度的函數(shù),，具體方法如2.7節(jié)中所述,。只有相對(duì)屈曲荷載低于這條曲線(xiàn)，宏觀結(jié)構(gòu)才有望保持局部穩(wěn)定性,。

4. 討論
實(shí)驗(yàn)結(jié)果清楚地驗(yàn)證了我們的假設(shè),，與傳統(tǒng)最小柔順性方法的優(yōu)化結(jié)構(gòu)相比，利用涂層方法的增材制造多孔填充結(jié)構(gòu),，屈曲荷載顯著提高,，但是依舊存在一些小的偏差。 數(shù)值模型的兩個(gè)主要假設(shè)分別是SEBS是線(xiàn)彈性材料,，以及填充結(jié)構(gòu)是均勻的和各向同性的,，且滿(mǎn)足HS上邊界。

關(guān)于假設(shè)打印出的SEBS是線(xiàn)彈性材料,，這是一種簡(jiǎn)單的理想化,，至少忽略了三方面的影響：
①黏彈性，在整個(gè)試驗(yàn)中可以觀測(cè)到,；
②楊氏模量的應(yīng)變相關(guān)性,，在276Author name et al. / Engineering 2(2016) xxx–xxx 給定的簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)裝置中與黏彈性的影響難于區(qū)分；
③熔 絲打印技術(shù)產(chǎn)生的各向異性,。 黏彈性表現(xiàn)在依賴(lài)于應(yīng)力–應(yīng)變曲線(xiàn)的變形率和蠕變的顯著程度,。

用圖3(a)所示的手動(dòng)設(shè)置過(guò)程確定E0，為了使蠕變效應(yīng)最小,，施加瞬態(tài)荷載,。用圖3(c)中的實(shí)驗(yàn)機(jī)測(cè)量屈曲荷載，隨后獲得了采用較高應(yīng)變速率(5 mm·min–1)的測(cè)量值和使用手動(dòng)設(shè)置得到的測(cè)量值,。前者的屈曲荷載稍高,，后者的屈曲荷載稍低,，但兩者測(cè)量結(jié)果是在報(bào)告值的10%以?xún)?nèi)�,；�于這些觀察,，黏彈性效應(yīng)被認(rèn)為是試驗(yàn)中不確定性的主要來(lái)源。如果不考慮這些影響,，測(cè)量位移將會(huì)趨于過(guò)高估計(jì),，也就是說(shuō)擬合的楊氏模量和數(shù)值確定的屈曲載荷將會(huì)估計(jì)偏低，這或許可以解釋測(cè)量實(shí)心結(jié)構(gòu)的一些偏差,。


楊氏模量的應(yīng)變相關(guān)性可在兩個(gè)方向上影響數(shù)值計(jì)算結(jié)果,。正如前面提到的，這部分的影響很難在現(xiàn)有的簡(jiǎn)單測(cè)試裝置情況下與黏彈性影響區(qū)分開(kāi),。 熔絲打印技術(shù)產(chǎn)生的各向異性對(duì)于多孔結(jié)構(gòu)的影響可以忽略,，因?yàn)榇蛴〗Y(jié)構(gòu)表面和內(nèi)部填充時(shí)，擠出路徑都是平行于局部傳力路徑方向,，并且只有兩個(gè)對(duì)于表面和一個(gè)用于填充結(jié)構(gòu)的熔絲路徑,。因此，各向異性主要與實(shí)體結(jié)構(gòu)相關(guān),；然而,，這種影響在框架結(jié)構(gòu)中不是關(guān)鍵的，因?yàn)榇蛴∷�有的桿件時(shí)都是相同的擠出模式：界面采用縱向打印方式,，而內(nèi)部采用橫向打印方式,。在某種意義上，由于各向異性,，固體結(jié)構(gòu)可看作是內(nèi)部剛度稍微降低的全密度的多孔材料,，然而，剛度減少的估計(jì)超過(guò)了本文的范圍,，并且一定程度上,，這種影響可通過(guò)擬合等效材料參數(shù)進(jìn)行有效處理。需要注意的是,，當(dāng)拓展到三維設(shè)計(jì)時(shí),，各向異性的影響在垂直于層的方向比所述層的平面內(nèi)更強(qiáng),。然而,，各向異性的程度取決于增 材制造技術(shù)的選擇，并且在一定程度上可以通過(guò)熱處理緩解,。


此外,，假設(shè)填充結(jié)構(gòu)是均質(zhì)、各向同性,，且滿(mǎn)足HS上邊界是相當(dāng)簡(jiǎn)化的,。在實(shí)際打印時(shí),，三角形填充結(jié)構(gòu)顯然不能從宏觀結(jié)構(gòu)尺度上分離出來(lái)，這就意味著填充結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)認(rèn)為是單獨(dú)的結(jié)構(gòu)部件,，而不是均質(zhì)材料,。但是，例如在參考文獻(xiàn),，當(dāng)使用某些單胞時(shí),，認(rèn)為其均質(zhì)性質(zhì)可看成是一個(gè)合理的近似。此外,，沿著結(jié)構(gòu)邊緣填充三角幾何形狀較差,，從而導(dǎo)致材料分布不均勻，進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)果不精確,，特別是對(duì)于比較細(xì)的結(jié)構(gòu),。內(nèi)部填充結(jié)構(gòu)的缺陷性是多孔結(jié)構(gòu)的各向異性的重要來(lái)源。 數(shù)值模型和實(shí)驗(yàn)之間兩個(gè)最重要的偏差是實(shí)體結(jié)構(gòu)的數(shù)值屈曲荷載比實(shí)驗(yàn)值小約20%,，多孔結(jié)構(gòu)的數(shù)值預(yù)測(cè)剛度比實(shí)驗(yàn)測(cè)量剛度低6%,。相比于屈曲荷載的5倍的增加量，這些偏差較小,，無(wú)法改變?cè)撗芯康慕Y(jié)論,。顯然，屈曲荷載的增益是涂層方法所固有的,，并不限制于MBB梁,。圖6(b)是填充結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性曲線(xiàn)，可看出20%的填充剛度結(jié)構(gòu)可能是接近于最佳的局部和全局屈曲強(qiáng)度之間的權(quán)衡,。然而需要注意的是,，這個(gè)說(shuō)法是建立在總體假設(shè)的前提下，不僅僅涉及所述的填充結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性曲線(xiàn)的推導(dǎo)假設(shè),，還有該填充結(jié)構(gòu)是均勻,、各向同性，且滿(mǎn)足HS上限的假設(shè),。


5. 結(jié)論
本文證實(shí)了涂層拓?fù)鋬?yōu)化方法可以用于設(shè)計(jì)增材制造填充構(gòu)件,，并且相比標(biāo)準(zhǔn)最小柔順性方法進(jìn)行優(yōu)化的結(jié)構(gòu)，屈曲性能大幅度提高,。在特定的MBB梁算例中,，多孔結(jié)構(gòu)的屈曲荷載比實(shí)體結(jié)構(gòu)高5倍以上，而剛度下降20 %~25%,。屈曲載荷提高的原因是由于多孔結(jié)構(gòu)的引入增大了結(jié)構(gòu)部件的寬度,，進(jìn)而提升了比彎曲剛度。 增材制造實(shí)驗(yàn)試件的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果支撐了數(shù)值結(jié)果,。然而測(cè)量結(jié)果與一些不確定性相關(guān),，主要是關(guān)于實(shí)驗(yàn)試件材料屬性的粗略假設(shè),，但結(jié)果的趨勢(shì)十分明顯，與性能差異相比,，這種偏差很小,。 繼本文研究工作之后，探討一下未來(lái)的相關(guān)工作,。多孔組件能夠得到如此高的面內(nèi)屈曲荷載,，這是由于結(jié)構(gòu)發(fā)生局部屈曲(由于集中荷載)而不是整體失穩(wěn)。一般來(lái)說(shuō),，如果填充密度選擇過(guò)低,，在結(jié)構(gòu)發(fā)生整體失穩(wěn)之前，填充結(jié)構(gòu)處會(huì)出現(xiàn)局部屈曲,。因此,，今后我們需要設(shè)計(jì)完全的三維結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)，研究多孔材料的面外屈曲性能,。 本文研究證明了拓?fù)鋬?yōu)化方法適合增材制造這一特殊制造手段的可能性,，也彰顯了該方法對(duì)于顯著改善結(jié)構(gòu)性能的重要作用。