【解析】基于Hilbert曲線的３Ｄ打印精度測試方法研究

３Ｄ打印技術(shù)綜合了激光,、計算機輔助設(shè)計與制造,、光化學(xué),、新型材料等科學(xué)技術(shù)的研究成果,，不需任何機械加工設(shè)備即可快速精確地制造復(fù)雜形狀的物體,。３Ｄ打印的原理是利用三維ＣＡＤ數(shù)據(jù),，通過３Ｄ打印機，將一層層的材料堆積成實體原型,， 從而快速,、直接、精確的將產(chǎn)品的設(shè)計數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成模型,。根據(jù)成型方法可分為兩類：基于激光及其他光源的成型技術(shù)和基于噴射的成型技術(shù),。由于３Ｄ打印機的精度直接決定了打印品的質(zhì)量， 所以很多學(xué)者研究并設(shè)計了標定板及其測試或校準方法,，解決３Ｄ打印頭的定位問題,，所設(shè)計的標定板只能適用于某種具體機型的３Ｄ打印機，并不能適用于不同成型原理,、不同精度,、不同打印尺寸打印機的校準,。

1.前言
Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線源于經(jīng)典的Ｐｅａｎｏ曲線族。Ｐｅａｎｏ曲 線族是閉合間隔單元Ｉ＝［０,，１］到閉合矩形單元Ｓ＝［１,，２ ］的連續(xù)映射也是所有能夠填滿二維或更高維空間的連續(xù)分形曲線的總稱，故又稱為空間填充曲線,。它由意大利數(shù)學(xué)家Ｐｅａｎｏ于１８９０年提出,，德國數(shù)學(xué)家Ｈｉｌｂｅｒｔ于１８９１年首先給出了構(gòu)造這種空間填充曲線的幾何過程，并提出了所構(gòu)造的空間填充曲線“處處連續(xù),，但處處不可導(dǎo)”的著名假設(shè),。目前已有許多經(jīng)典算法生成Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線：面向字節(jié)技術(shù)方法，幾何方法,，Ｌ系統(tǒng)方法,、ＩＦＳ（迭代函數(shù)系統(tǒng)）方法等。Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線是ＦＡＳＳ曲線的一種,，具有分布均勻,、一筆畫、精度可控,、可擴展等優(yōu)點,。 由于３Ｄ打印品的精度主要由單層截面圖形和分層厚度形成，分層厚度可由工具顯微鏡觀察獲得,，所以主要的測試內(nèi)容關(guān)注于不受層厚影響的二維曲線圖形,。論文的主要工作在于設(shè)計并研制了３Ｄ打印品的精度測試樣板， 分析其測量特性與計量特性,，并提出測試方法,。

首先采用Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線生成單層截面圖形，通過基元測試方法測量打印品尺寸精度,，另外通過測試打印品歪斜度,、直線度、 對角線誤差,、平行度,、放大率、掃描線性等計量特性測量形狀與位置精度,。設(shè)計與研制的精度測試樣板與測試方法具有能適應(yīng)各種打印尺寸的特點,，自動適應(yīng)各種精度，具有實時,、快捷,、不易變形、測試精度高的特點。

２ Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線生成原理
２．１ 基元與演化方法
Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線是通過不斷地四分一個正方形區(qū)域,，從始點到終點遞歸地計算畫線的位置的過程。因此對Ｈｉｌ－ｂｅｒｔ曲線的每條線段逐漸細分做遞歸計算,，以２×２的小正方形為最小考察單位,，定義其中曲線為基元，基元是由３條線段組成的折線,。最終曲線是由基元通過線段連接起來的,，由圖１所示。

２．２ 演化規(guī)則
由圖２可知,，紅實線代表的初始狀態(tài),，演化一次后可知藍色實線是由三條粗線段連接起來的四部分組成。其中第三和第四象限中的圖形是上一級整個圖形（Ｈ１的平移,，第二象限是上一級整個圖形順時針旋轉(zhuǎn)９０度的圖形,，第一象限是上一級整個圖形逆時針旋轉(zhuǎn)９０度的圖形。而這種關(guān)系并不是偶然的,，按此規(guī)則繼續(xù)演化一步,，即得到黑色實線） 。

從演化規(guī)則可得下述規(guī)律：設(shè)當前狀態(tài)是Ｆｋ＋１,，前一狀態(tài)是Ｆｋ,。Ｆｋ＋１由四部分組成，Ｆｋ＋１與Ｆｋ的關(guān)系見圖２,。Ｆｋ→ 表示順時針旋轉(zhuǎn)９０度,，Ｆｋ← 表示逆時針旋轉(zhuǎn)９０度。即Ｆｋ＋１的第三和第四象限中的兩個圖形是Ｆｋ的復(fù)制,，第一和第二象限中的兩個圖形是Ｆｋ旋轉(zhuǎn)后的復(fù)制,，如式（１）所示。Ｆｋ＋１＝Ｆｋ→  Ｆｋ ← Ｆｋ  Ｆ［］ ｋ （１ ）

２．３ 研制方案
標準器由一組標準測試樣板組成,。根據(jù)３Ｄ打印機的打印量程確定Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線的輪廓邊界,， 根據(jù)打印精度的郴同設(shè)置迭代次數(shù)，從而生成不同精度的打印樣板,，如圖２,、圖３所示。

曲線通過ＣＡＤ模型處理軟件輸入至３Ｄ打印機,，作為打印機噴頭的打印軌跡,。 通過測量這些標準測試樣板的基元正方形邊長，得到３Ｄ打印機打印的基元尺寸,。 這種方案兼顧了３Ｄ打印機功能多樣化的特點,，可以擴展到任何打印量程的打印機，具有覆蓋面寬、測量可靠,、打印品不易變形等優(yōu)點,。

３ 基元測試條件和測試方法
３．１ 測試條件
加工室溫度：（２０±１０）℃。測量室相對濕度： 不大于８０％,。校準前,， 打印測試樣板和校準用器具等溫平衡時間不少于２ｈ。３．２ 測試用設(shè)備 經(jīng)過分析,、研究及試驗,，得到的測試項目及校準設(shè)備，見表１,。

測試樣板規(guī)格標準器及其它設(shè)備 ０．０２０ｍｍ＜ｇ≤０ ．０４５ｍｍ分辨力（０．１～０．５）μ ｍ,，放大率５０～２００倍光學(xué)測量或投影系統(tǒng)。 ０．０４５＜ｇ≤５ｍｍ分辨力１μｍ,，放大率１０～５０倍的工具顯微鏡或投影儀 ５ｍｍ＜ｇ＜１ ２５ｍｍ分辨力（０．０１～０．０５）ｍｍ的數(shù)顯或游標卡 尺,， 或一般投影儀。

３．３ 測試方法
在Ｘ和Ｙ方向上對基元的邊長ａ進行測量,�,；�元尺寸小于５ｍｍ的用非接觸測量法，網(wǎng)孔尺寸＞５ ｍｍ的可用接觸測量法,。如用工具顯微鏡測量應(yīng)將米字線壓在被測基元Ｘ或Ｙ方向上的邊緣中心部位進行測量,。對打印版上的任意基元都應(yīng)能接受檢測，包括離樣板邊緣最近的基元,。對于不多于２０個基元的樣板,，應(yīng)能檢查所有的基元尺寸；對超過２０個基元的測試樣板,，應(yīng)按以下步驟進行,。 （１ ）最大尺寸偏差對整個Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線進行觀察，對過大尺寸的基元進行測量,。測量時按半寬壓線法進行,，以測得的網(wǎng)孔最 大尺寸ｇ＋Ｘ與基本尺寸ｇ之差作為測量結(jié)果。
（２ ）基元平均尺寸偏差至少選擇兩個取樣部位,，每個部位分別在Ｘ方向和Ｙ方向上選�,。保皞�連續(xù)的基元，然后沿Ｘ方向和Ｙ方向連續(xù)測量,，
同時測得基元尺寸
,，并分別計算出每個取樣部位的Ｘ方向和Ｙ方向上的基元平均尺寸ｇ±Ｙ�,；�元平均尺寸與基本尺寸ｇ之差即為平均尺寸偏差,，以平均尺寸作為測量結(jié)果,。
（３）基元尺寸在最大尺寸ｇ＋Ｘ和中間尺寸ｇ＋Ｚ之間的基元數(shù)量 在最具代表性的試樣部位，即：基元尺寸在ｇ＋Ｘ到ｇ＋Ｚ出現(xiàn)較多的部位,， 對可疑基元進行測試,。若基元數(shù)目少于１００個，則對整個Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線上的基元進行測 試,，然后計算尺寸在ｇ＋Ｘ到ｇ＋Ｚ之間的基元數(shù)量,。該數(shù)量所占基元總數(shù)的比值即為測試結(jié)果。對于基元少于５０個的Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線,，其測試結(jié)果為：基元尺寸在ｇ＋Ｘ到ｇ＋Ｚ之間的基元數(shù)量。 （４ ）基元基本尺寸偏差的確定,，部分數(shù)據(jù)可參考表２,，基元尺寸范圍為（０．０２０
～１２５）ｍｍ。

４ 打印品精度評價

４．１ 歪斜度

取左上角,、左下角,、右上角、右下角４個基元,，測量左上角基元左端點與左下角基元左端點的距離ＡＣ,，如圖５所示。與右上角基元右端點與右下角基元右端點的距離ＦＨ,， 其距離之差即為歪斜度,。

４．２ 直線度

測量水平直線度時，以邊框線為基準線,，用讀數(shù)顯微鏡測量離上邊框最近一行的基元的樣本線條偏離基準線的最大距離,。垂直直線度測量離左邊框最近一列的基元的樣本，測量各個基元線偏離基準線的最大距離,，按照式（２ ）計算直線度,。直線度＝｜Ｌ１／Ｌ０ ｜×１００％（２ ）式中：Ｌ１—樣本上線條偏離基準線的最大距離， ｍｍ,；Ｌ０—被測量線條的長度,， ｍｍ。

４．３ 對角線誤差

測量由打印品樣本邊框構(gòu)成的矩形的兩條對角線長度,，其長度之差為對角線誤差,。

４．４ 平行度

測量Ｂ、Ｅ兩點分別沿ＢＤ和ＥＧ與下邊框線的距離,，其距離之差為縱向平行度,。 測量Ｉ、Ｊ兩點分別沿ＩＫ和ＪＬ與右邊框線的距離,，其距離之差為橫向平行度,。４．５ 放大率 分別任取其樣本水平,、垂直標尺上間隔５０ｍｍ的兩點，測量其實際長度數(shù)值Ｌ,。按式（３ ）計算放大率,。放大率＝Ｌ／５０×１００％（３ ）式中：Ｌ—樣本上兩點間的長度，ｍｍ,。

４．６ 掃描線性

取相互連接的４個基元為１單元,，任取水平標尺上均勻分布的５個位置，測量其實際長度值Ｌ,，計算實際長度數(shù)值的最大差值為掃描線性,。

５ 結(jié)語

利用幾何方法生成Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線， 可以高效而精確地生成各種大小與精度的打印測試樣板,。相比通過標定點陣列與線段結(jié)合的幾何方法,， 該方法具有分布均勻、一筆畫,、精度可控,、可擴展等優(yōu)點。本文通過生成不同基元大小的打印精度測試樣板,，提出測量其尺寸精度及其打印樣板的位置精度與形狀精度的方法,，具有一定的通用性。相比研究現(xiàn)狀,，設(shè)計的精度測試樣板具有靈活的精度可調(diào)整性,，另外具有實時、快捷,、不易變形,，能適應(yīng)各種尺寸的特點。下一步工作將研究３Ｄ打印技術(shù)工藝參數(shù)對制件表面形貌的影響,，設(shè)計打印品表面質(zhì)量測試方法,，進一步完善３Ｄ打印精度標準。

編輯：南極熊

作者：張寧寧 （廈門市計量檢定測試院）