【解析】基于Hilbert曲線的３Ｄ打印精度測(cè)試方法研究

３Ｄ打印技術(shù)綜合了激光,、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造,、光化學(xué),、新型材料等科學(xué)技術(shù)的研究成果,，不需任何機(jī)械加工設(shè)備即可快速精確地制造復(fù)雜形狀的物體,。３Ｄ打印的原理是利用三維ＣＡＤ數(shù)據(jù)，通過(guò)３Ｄ打印機(jī),，將一層層的材料堆積成實(shí)體原型,， 從而快速、直接,、精確的將產(chǎn)品的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成模型,。根據(jù)成型方法可分為兩類(lèi)：基于激光及其他光源的成型技術(shù)和基于噴射的成型技術(shù)。由于３Ｄ打印機(jī)的精度直接決定了打印品的質(zhì)量,， 所以很多學(xué)者研究并設(shè)計(jì)了標(biāo)定板及其測(cè)試或校準(zhǔn)方法,，解決３Ｄ打印頭的定位問(wèn)題,，所設(shè)計(jì)的標(biāo)定板只能適用于某種具體機(jī)型的３Ｄ打印機(jī)，并不能適用于不同成型原理,、不同精度,、不同打印尺寸打印機(jī)的校準(zhǔn)。

1.前言
Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線源于經(jīng)典的Ｐｅａｎｏ曲線族,。Ｐｅａｎｏ曲 線族是閉合間隔單元Ｉ＝［０,，１］到閉合矩形單元Ｓ＝［１，２ ］的連續(xù)映射也是所有能夠填滿二維或更高維空間的連續(xù)分形曲線的總稱,，故又稱為空間填充曲線,。它由意大利數(shù)學(xué)家Ｐｅａｎｏ于１８９０年提出，德國(guó)數(shù)學(xué)家Ｈｉｌｂｅｒｔ于１８９１年首先給出了構(gòu)造這種空間填充曲線的幾何過(guò)程,，并提出了所構(gòu)造的空間填充曲線“處處連續(xù),，但處處不可導(dǎo)”的著名假設(shè)。目前已有許多經(jīng)典算法生成Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線：面向字節(jié)技術(shù)方法,，幾何方法,，Ｌ系統(tǒng)方法、ＩＦＳ（迭代函數(shù)系統(tǒng)）方法等,。Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線是ＦＡＳＳ曲線的一種，具有分布均勻,、一筆畫(huà),、精度可控、可擴(kuò)展等優(yōu)點(diǎn),。 由于３Ｄ打印品的精度主要由單層截面圖形和分層厚度形成,，分層厚度可由工具顯微鏡觀察獲得，所以主要的測(cè)試內(nèi)容關(guān)注于不受層厚影響的二維曲線圖形,。論文的主要工作在于設(shè)計(jì)并研制了３Ｄ打印品的精度測(cè)試樣板,， 分析其測(cè)量特性與計(jì)量特性，并提出測(cè)試方法,。

首先采用Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線生成單層截面圖形,，通過(guò)基元測(cè)試方法測(cè)量打印品尺寸精度，另外通過(guò)測(cè)試打印品歪斜度,、直線度,、 對(duì)角線誤差、平行度,、放大率,、掃描線性等計(jì)量特性測(cè)量形狀與位置精度。設(shè)計(jì)與研制的精度測(cè)試樣板與測(cè)試方法具有能適應(yīng)各種打印尺寸的特點(diǎn),，自動(dòng)適應(yīng)各種精度,，具有實(shí)時(shí),、快捷、不易變形,、測(cè)試精度高的特點(diǎn),。

２ Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線生成原理
２．１ 基元與演化方法
Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線是通過(guò)不斷地四分一個(gè)正方形區(qū)域，從始點(diǎn)到終點(diǎn)遞歸地計(jì)算畫(huà)線的位置的過(guò)程,。因此對(duì)Ｈｉｌ－ｂｅｒｔ曲線的每條線段逐漸細(xì)分做遞歸計(jì)算,，以２×２的小正方形為最小考察單位，定義其中曲線為基元,，基元是由３條線段組成的折線,。最終曲線是由基元通過(guò)線段連接起來(lái)的，由圖１所示,。

２．２ 演化規(guī)則
由圖２可知,，紅實(shí)線代表的初始狀態(tài)，演化一次后可知藍(lán)色實(shí)線是由三條粗線段連接起來(lái)的四部分組成,。其中第三和第四象限中的圖形是上一級(jí)整個(gè)圖形（Ｈ１的平移,，第二象限是上一級(jí)整個(gè)圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)９０度的圖形，第一象限是上一級(jí)整個(gè)圖形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)９０度的圖形,。而這種關(guān)系并不是偶然的,，按此規(guī)則繼續(xù)演化一步，即得到黑色實(shí)線） ,。

從演化規(guī)則可得下述規(guī)律：設(shè)當(dāng)前狀態(tài)是Ｆｋ＋１,，前一狀態(tài)是Ｆｋ。Ｆｋ＋１由四部分組成,，Ｆｋ＋１與Ｆｋ的關(guān)系見(jiàn)圖２,。Ｆｋ→ 表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)９０度，Ｆｋ← 表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)９０度,。即Ｆｋ＋１的第三和第四象限中的兩個(gè)圖形是Ｆｋ的復(fù)制,，第一和第二象限中的兩個(gè)圖形是Ｆｋ旋轉(zhuǎn)后的復(fù)制，如式（１）所示,。Ｆｋ＋１＝Ｆｋ→  Ｆｋ ← Ｆｋ  Ｆ［］ ｋ （１ ）

２．３ 研制方案
標(biāo)準(zhǔn)器由一組標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試樣板組成,。根據(jù)３Ｄ打印機(jī)的打印量程確定Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線的輪廓邊界， 根據(jù)打印精度的郴同設(shè)置迭代次數(shù),，從而生成不同精度的打印樣板,，如圖２、圖３所示,。

曲線通過(guò)ＣＡＤ模型處理軟件輸入至３Ｄ打印機(jī),，作為打印機(jī)噴頭的打印軌跡。 通過(guò)測(cè)量這些標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試樣板的基元正方形邊長(zhǎng)，得到３Ｄ打印機(jī)打印的基元尺寸,。 這種方案兼顧了３Ｄ打印機(jī)功能多樣化的特點(diǎn),，可以擴(kuò)展到任何打印量程的打印機(jī)，具有覆蓋面寬,、測(cè)量可靠,、打印品不易變形等優(yōu)點(diǎn)。

３ 基元測(cè)試條件和測(cè)試方法
３．１ 測(cè)試條件
加工室溫度：（２０±１０）℃,。測(cè)量室相對(duì)濕度： 不大于８０％,。校準(zhǔn)前， 打印測(cè)試樣板和校準(zhǔn)用器具等溫平衡時(shí)間不少于２ｈ,。３．２ 測(cè)試用設(shè)備 經(jīng)過(guò)分析,、研究及試驗(yàn)，得到的測(cè)試項(xiàng)目及校準(zhǔn)設(shè)備,，見(jiàn)表１,。

測(cè)試樣板規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)器及其它設(shè)備 ０．０２０ｍｍ＜ｇ≤０ ．０４５ｍｍ分辨力（０．１～０．５）μ ｍ，放大率５０～２００倍光學(xué)測(cè)量或投影系統(tǒng),。 ０．０４５＜ｇ≤５ｍｍ分辨力１μｍ,，放大率１０～５０倍的工具顯微鏡或投影儀 ５ｍｍ＜ｇ＜１ ２５ｍｍ分辨力（０．０１～０．０５）ｍｍ的數(shù)顯或游標(biāo)卡 尺， 或一般投影儀,。

３．３ 測(cè)試方法
在Ｘ和Ｙ方向上對(duì)基元的邊長(zhǎng)ａ進(jìn)行測(cè)量,。基元尺寸小于５ｍｍ的用非接觸測(cè)量法,，網(wǎng)孔尺寸＞５ ｍｍ的可用接觸測(cè)量法,。如用工具顯微鏡測(cè)量應(yīng)將米字線壓在被測(cè)基元Ｘ或Ｙ方向上的邊緣中心部位進(jìn)行測(cè)量。對(duì)打印版上的任意基元都應(yīng)能接受檢測(cè),，包括離樣板邊緣最近的基元。對(duì)于不多于２０個(gè)基元的樣板,，應(yīng)能檢查所有的基元尺寸,；對(duì)超過(guò)２０個(gè)基元的測(cè)試樣板，應(yīng)按以下步驟進(jìn)行,。 （１ ）最大尺寸偏差對(duì)整個(gè)Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線進(jìn)行觀察,，對(duì)過(guò)大尺寸的基元進(jìn)行測(cè)量。測(cè)量時(shí)按半寬壓線法進(jìn)行,，以測(cè)得的網(wǎng)孔最 大尺寸ｇ＋Ｘ與基本尺寸ｇ之差作為測(cè)量結(jié)果,。
（２ ）基元平均尺寸偏差至少選擇兩個(gè)取樣部位，每個(gè)部位分別在Ｘ方向和Ｙ方向上選�,。保皞�(gè)連續(xù)的基元,，然后沿Ｘ方向和Ｙ方向連續(xù)測(cè)量，
同時(shí)測(cè)得基元尺寸
，并分別計(jì)算出每個(gè)取樣部位的Ｘ方向和Ｙ方向上的基元平均尺寸ｇ±Ｙ,�,；�元平均尺寸與基本尺寸ｇ之差即為平均尺寸偏差，以平均尺寸作為測(cè)量結(jié)果,。
（３）基元尺寸在最大尺寸ｇ＋Ｘ和中間尺寸ｇ＋Ｚ之間的基元數(shù)量 在最具代表性的試樣部位,，即：基元尺寸在ｇ＋Ｘ到ｇ＋Ｚ出現(xiàn)較多的部位， 對(duì)可疑基元進(jìn)行測(cè)試,。若基元數(shù)目少于１００個(gè),，則對(duì)整個(gè)Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線上的基元進(jìn)行測(cè) 試，然后計(jì)算尺寸在ｇ＋Ｘ到ｇ＋Ｚ之間的基元數(shù)量,。該數(shù)量所占基元總數(shù)的比值即為測(cè)試結(jié)果,。對(duì)于基元少于５０個(gè)的Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線，其測(cè)試結(jié)果為：基元尺寸在ｇ＋Ｘ到ｇ＋Ｚ之間的基元數(shù)量,。 （４ ）基元基本尺寸偏差的確定,，部分?jǐn)?shù)據(jù)可參考表２，基元尺寸范圍為（０．０２０
～１２５）ｍｍ,。

４ 打印品精度評(píng)價(jià)

４．１ 歪斜度

取左上角,、左下角、右上角,、右下角４個(gè)基元,，測(cè)量左上角基元左端點(diǎn)與左下角基元左端點(diǎn)的距離ＡＣ，如圖５所示,。與右上角基元右端點(diǎn)與右下角基元右端點(diǎn)的距離ＦＨ,， 其距離之差即為歪斜度。

４．２ 直線度

測(cè)量水平直線度時(shí),，以邊框線為基準(zhǔn)線,，用讀數(shù)顯微鏡測(cè)量離上邊框最近一行的基元的樣本線條偏離基準(zhǔn)線的最大距離。垂直直線度測(cè)量離左邊框最近一列的基元的樣本,，測(cè)量各個(gè)基元線偏離基準(zhǔn)線的最大距離,，按照式（２ ）計(jì)算直線度。直線度＝｜Ｌ１／Ｌ０ ｜×１００％（２ ）式中：Ｌ１—樣本上線條偏離基準(zhǔn)線的最大距離,， ｍｍ,；Ｌ０—被測(cè)量線條的長(zhǎng)度， ｍｍ,。

４．３ 對(duì)角線誤差

測(cè)量由打印品樣本邊框構(gòu)成的矩形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度,，其長(zhǎng)度之差為對(duì)角線誤差。

４．４ 平行度

測(cè)量Ｂ,、Ｅ兩點(diǎn)分別沿ＢＤ和ＥＧ與下邊框線的距離,，其距離之差為縱向平行度。 測(cè)量Ｉ、Ｊ兩點(diǎn)分別沿ＩＫ和ＪＬ與右邊框線的距離,，其距離之差為橫向平行度,。４．５ 放大率 分別任取其樣本水平、垂直標(biāo)尺上間隔５０ｍｍ的兩點(diǎn),，測(cè)量其實(shí)際長(zhǎng)度數(shù)值Ｌ,。按式（３ ）計(jì)算放大率。放大率＝Ｌ／５０×１００％（３ ）式中：Ｌ—樣本上兩點(diǎn)間的長(zhǎng)度,，ｍｍ,。

４．６ 掃描線性

取相互連接的４個(gè)基元為１單元，任取水平標(biāo)尺上均勻分布的５個(gè)位置,，測(cè)量其實(shí)際長(zhǎng)度值Ｌ,，計(jì)算實(shí)際長(zhǎng)度數(shù)值的最大差值為掃描線性。

５ 結(jié)語(yǔ)

利用幾何方法生成Ｈｉｌｂｅｒｔ曲線,， 可以高效而精確地生成各種大小與精度的打印測(cè)試樣板,。相比通過(guò)標(biāo)定點(diǎn)陣列與線段結(jié)合的幾何方法， 該方法具有分布均勻,、一筆畫(huà),、精度可控、可擴(kuò)展等優(yōu)點(diǎn),。本文通過(guò)生成不同基元大小的打印精度測(cè)試樣板,，提出測(cè)量其尺寸精度及其打印樣板的位置精度與形狀精度的方法，具有一定的通用性,。相比研究現(xiàn)狀,，設(shè)計(jì)的精度測(cè)試樣板具有靈活的精度可調(diào)整性，另外具有實(shí)時(shí),、快捷,、不易變形，能適應(yīng)各種尺寸的特點(diǎn),。下一步工作將研究３Ｄ打印技術(shù)工藝參數(shù)對(duì)制件表面形貌的影響,，設(shè)計(jì)打印品表面質(zhì)量測(cè)試方法，進(jìn)一步完善３Ｄ打印精度標(biāo)準(zhǔn),。

編輯：南極熊

作者：張寧寧 （廈門(mén)市計(jì)量檢定測(cè)試院）